Рачун исказа

У одељку о суду било је речено да је суд „мисао изражена исказом” и да је исказ „смисаона реченица којом се нешто тврди и која зато мора бити истинита или лажна (или имати неку истиносну вредност између несумњиве истине и несумњиве неистине)”.

Када се у једном простом исказу апстрахује садржај, када се он третира као једна нерашчлањена целина, он се може представити једним симболом — формулом која има једно једино својство: да је истинита или лажна. Тако, на пример, прост исказ „Човек је рационалан” може се представити симболом р, а прост исказ „Човек је креативан” симболом q. Негација ових исказа Човек није рационалан” и „Човек није креативан” могу се представити негацијом формула p и q: ¬р и ¬q.

Узмимо сад сложене исказе: „Човек је рационалан и креативан” и „Ако је човек рационалан, онда је и креативан”. Ови искази су очигледно састављени од простих исказа „Човек је рационалан” и „Човек је креативан”, који су међусобно спојени логичким односима конјункције (изражене речју „и”) и импликације (изражене речју „ако… онда”). Ако „и” заменимо симболом „∧“ и ако „ако…онда” заменимо симболом „→”, бићемо у стању да два претходна сложена исказа изразимо формулама р∧q и р→q. Негације ових исказа биле би изражене формулама ¬(р∧q) и ¬(р→q). (Заграде овде означавају да се негација односи на целину формуле, а не само на њен први члан р).

На сличан начин могу се помоћу формула изразити и сви други искази, ма како сложени они били. Осим већ поменутих симбола, потребно је увести само још два: за логички однос дисјункције, који се у обичном језику изражавају речју „или” а у језику симболичке логике знаком „V”, и за логички однос еквивалентности („ако и само ако“) који се може изразити знаком „≡“.

Све симболе који се појављују у рачуну исказа можемо поделити у две групе:

(1) логичке константе ¬, ∧, V, →, ≡, које означавају одређене логичке односе општег карактера и
(2) променљиве р, q, r…, које стоје уместо појединих простих исказа.

Према томе, у рачуну исказа сви искази обичног језика биће замењени формулама. Формула рачуна иcкaзa S је или

(а) исказна променљива p, q, r…, или
(б) негација било које формуле у рачуну исказа S или
(в) спој двеју формула S помоћу логичких констaнти ¬, ∧, V, →, ≡.

Овако добијене сложене формуле могу се даље негирати и спајати у све сложеније целине помоћу логичких константи.

Услови (а), (б) и (в) дефинишу појам формуле и истовремено представљају правила која одређују начин формирања формула рачуна исказа (правила формације),

Истинитосне таблице

У садржинском мишљењу сваки исказ има одређени садржај и његова истина или неистина је фактичка, тј. он одговара или не одговара стварности. У формалном мишљењу садржај исказа је апстрахован, исказ је замењен формулом, чија се истинитост или лажност уобичајено обележава са 1 и 0. Истинитост сложених формула биће функција истинитости простих формула; њихова истинитост је логичка у том смислу што се утврђује у складу с извесним правилима.

Појам функције овде има значење преузето из математике. У математици један израз је функција једне или више променљивих ако је вредност тог израза једнозначно одређена кад та променљива (те променљиве) добије одређену вредност. На пример, у једначини у=2х+3, у је функција променљиве х, јер је њена вредност одређена вредношћу х. Ако х има вредност 0, у ће бити 3; ако x има вредност 2, у ће бити 7; ако је x=1, y ће бити 5 итд.

Слично томе истиносна вредност једног сложеног или негираног исказа биће једнозначно одређена истинитосним вредностима простих исказа. То се најјасније може увидети на сасвим једноставном примеру негације простог исказа „Пада киша”. Ако је тај исказ истинит, исказ „Не пада киша” биће лажан, и обрнуто – ако је први исказ лажан, онда је његова негација истинита. Према томе, свака сложена формула у рачуну исказа истинитосна је функција елементарних формула од којих је састављена. За разлику од најчешће коришћених математичких функција, истинитосне функције могу имати само једну од две могуће вредности, тј. 1 или 0. Коју ће од тих двеју вредности имати једна сложена формула, може се одредити помоћу таблица истинитости. За сваку истинитосну функцију може се изградити једна истинитосна таблица помоћу које се може одредити њена истинитосна вредност.

Основне истинитосне таблице су оне помоћу којих се може одредити истинитосна вредност формула добијених негацијом једне исказне променљиве или конјункцијом, дисјункцијом, импликацијом и еквиваленцијом две исказне променљиве.

Помоћу истинитосних таблица саставних формула дате сложене формуле може се изградити истинитосна таблица и одредити истинитосна вредност за било коју сложену формулу рачуна исказа.