Одређивање истинитосне вредности формула помоћу истинитосних таблица

Формуле исказног рачуна могу бити по вољи дуге и имати по вољи велики број исказних променљивих (р, q, r, s, t…) спојених логичким константама (¬, ∧, V, →, ≡). Оне могу сaжeтo изражавати цео један ток размишљања и закључивања. Логичка исправност (логичка истина) тог закључивања може се оценити утврђивањем истиносне вредности формуле. Кад формуле нису превише дуге ,нити број исказних променљивих превелик, истинитосне таблице су најједноставнији метод за утврђивање њихове истинитосне вредности.

Узмимо, на пример, формулу [(p → q) ∧ ¬q] → ¬p. Она изражава ток закључивања веома уобичајен у обичном животу и науци: q је последица р; утврђивањем негације q утврђује се негација р. На пример, ако се у близини налази радиоактивни извор, Гајгеров бројач ће почети да откуцава. Гајгеров бројач не откуцава, према томе у близини се не налази радиоактивни извор. Кад упоређујемо ове две реченице с претходном формулом, запазићемо неколико ствари. Најпре, низ реченица обичног језика може бити изражен једном формулом ако су међусобно логички повезане. У претходном случају оне фактички стоје у односу конјункције иако нису повезане речју „и”. Даље, у обичном језику исти логички однос може бити изражен помоћу више речи, на пример, импликација се изражава не само помоћу „ако… онда” већ и „дакле”, „према томе” итд. Све ове речи биће преведене симболом „→“; у симболичком језику се строго поштује захтев Једнозначности: један симбол – једно значење. Најзад, у формули запажамо заграде: у овом случају мале ( ) и средње [ ], а могуће су и велике { }, као и друге, различитог степена хијерархије. Као и у алгебри, заграде су потребне да би назначио већи или мањи степен повезаности појединих израза, односно да би утврдиле редослед којим треба изводити операције утврђивања истинитосне вредности.

Тако у случају формуле [(p → q) ∧ ¬q] → ¬p најпре треба утврдити истиносну вредност p→q, затим конјункције [(p → q) ∧ ¬q и, на крају, импликације целог израза у средњим заградама и ¬p.

Цео поступак изграђивања таблице истинитости за наведену формулу прошао би, дакле кроз следеће фазе:

(1) одређивање свих комбинација истинитосних вредности и појединачних исказних променљивих идући с лева на десно:

(2) одређивање истинитосних вредности негације појединачних исказних променљивих:

(3) одређивање истинитосних вредности формула у малим заградама, затим у средњим, најзад формула у целини.

Зa (p→q), као што знамо из таблице за импликацију, истиносна вредност ће бити 1, 0, 1, 1.

За конјункцију (p → q) и ¬q добићемо истинитосне вредности према следећој таблици:

(јер је конјункција истинита само у случају да су обе саставне формуле истините).

Најзад, за импликацију [(p → q) ∧ ¬q] → ¬p добићемо истинитосну вредност према следећој таблици:

Таблица истинитости за формулу [(p → q) ∧ ¬q] → ¬p имаће у целини следећи изглед:

Сличан поступак би био примењен и за све друге формуле, с једном разликом што бисмо могли имати више колона ако је формула дужа и више места у свакој колони ако има више од две исказне променљиве. Кад имамо две променљиве, број места је 4 = (22) јер има укупно четири могуће комбинације њихове истинитости и лажности (11, 10, 01, 00). Са три променљиве број места био би 8 = (23) јер су могуће следеће комбинације:

p q r
1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 0 0
0 1 1
0 1 0
0 0 1
0 0 0

Уопште, за n исказних променљивих број места сваке колоне у таблицама биће 2n, дакле 16 за четири исказне променљиве, 32 за пет итд.

Према томе, колико год велике биле предности таблица истинитости као потпуно егзактног аутоматског метода за одређивање логичке истине једне формуле, њихов недостатак је у томе што постају сувише гломазне у примени на формуле већег степена комплексности.