Основне истинитосне таблице

Негација

Негацијом једног исказа помоћу израза „не”, „није” или „нису” добија се други исказ који је лажан ако је првобитан исказ истинит, а истинит ако је првобитан исказ лажан. На пример ако је истинит исказ „Човек је слободно биће”, биће лажан исказ „Човек није слободно биће”. Обратно ако је лажан исказ „Човек је човеку вук” биће истинит исказ „Човек није човеку вук”.

Овакав смисао појма негације изразићемо на симболички начин помоћу следеће истиносне таблице:

p ¬p
1 0
0 1

То значи: било која исказна променљива р може имати истиносну вредност 1 или 0. Ако је њена истиносна вредност била 1, вредност негације те променљиве биће 0. Ако је њена вредност била 0, вредност негације биће 1.

Конјункција

Конјункцијом два проста исказа помоћу речи „и” добија се сложени исказ који ће бити истинит само ако су оба саставна исказа истинита. У свим осталим могућим случајевима (ако је један истинит, а други лажан или ако су оба лажна) сложени исказ ће бити лажан. Нека један исказ буде „Пада снег“, а други „Температура је -5°C”. Могућа су четири случаја: (1) да оба исказа буду истинита, (2) да први буде истинит, а други лажан (3) да први буде лажан, а други истинит и (4) да оба буду лажна. Сложени исказ „Пада снег и температура је -5°C” биће истинит у првом случају, док ће у свим осталим бити лажан. Добићемо, према томе, следећу таблицу истинитости:

p q p∧q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0

Ова таблица истинитости истовремено је и објашњење значења логичке константе „∧“. Формуле њом спојене имају истиносну вредност 1 кад су вредности саставних формула 1,1; оне имају вредност 0 кад су вредности саставних формула 1,0 или 0,1 или 0,0.

Дисјункција

Дисјункцијом два проста исказа помоћу речи „или” добија се сложени исказ који ће бити истинит у свим случајевима осим ако су оба саставна исказа лажна. Претпоставимо да у покушају објашњења једне аутомобилске несреће формулишемо два исказа „Друм је био клизав” и „Возач је био преморен”. Опет су могућа четири случаја. Али, за разлику од конјункције, којом бисмо тврдили да су оба узрока деловала и која би била истинита само ако су оба исказа истинита, дисјункција „Друм је био клизав или је Возач био преморен” биће истинит ако је макар један од саставних исказа истинит. Дисјункција неће бити истинита само у случају да су оба лажна (односно да је несрећу изазвало нешто треће, рецимо пијанство возача, неисправност возила итд.). Таблица истинитости за дисфункцију имаће, дакле, следећи изглед:

p q pVq
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0

Значење логичке константе „V” биће следеће: формуле спојене константом „V” имају истиносну вредност 1 кад су вредности саставних формула 1,1 или 1,0 или 0,1; оне имају вредност 0 кад су вредности саставних формула 0,0.

Импликација

Видели смо да се значење логичких константи негације, конјункције и дисјункције углавном слаже са значењем које у обичном језику имају речи „не”, „и” и „или”. То није сасвим тако са логичком константом импликације. Значење које има „→” одговараће значењу речи „ако… онда” само у два од четири могућа случаја: (1) кад су оба исказа истинита и (2) кад је први исказ истинит, а други лажан. Импликативни исказ „Ако је натријум алкални метал, он је једновалентан” истинит је јер је натријум заиста алкални метал, и заиста је једновалентан. Дакле, истинитосна вредност формуле р→q биће 1 кад су вредности саставних формула 1,1. Међутим импликативни исказ „Ако је натријум алкални метал, он је једновалентан” је лажан јер натријум није двовалентан иако је алкални метал. Дакле истинитосна вредност формулер р→q биће 0 када су вредности саставних формула 1,0.

Разлика у значењу између „ако… онда” и „→” састоји се у томе што ће по дефиницији симбола „→” истинитосна вредност формуле р→q бити 1 и у случајевима када су вредности саставних формула 0,1 и 0,0 док се у обичном језику импликативни искази не сматрају истинитим самим тим што је антецеденс (онај који претходи, дакле р) лажан а консеквенс (онај који следи, дакле q) истинит или самим тим што су оба лажна. На пример, нити исказ „Ако је кисеоник алкални метал, он валентан” (случај 0,1) нити исказ „Ако је кисеоник алкални метал, он је једновалентан” (случај 0,0) не би били сматрани истинитим јер кисеоник није алкални метал, па је у оба случаја антецеденс лажан.

Међутим, и у обичном језику и језику науке импликација има каткад управо онај смисао који јој симболичка логика приписује, тј. да је импликативни исказ истинит иако је антецедено лажан. На пример, ако је једна чињеница А веома често условљена другом В, исказ којом се та условљеност констатује биће истинит иако у датом случају А није условљено чињеницом В, већ чињеницом С. Исказ „Ако се на тржишту смањи понуда, онда се цене повећавају” је истинит у овом свом општем облику и ако се конкретно наведе о ком тржишту је реч, у које време и у којој врсти робе. Он остаје истинит иако у датом случају повећање цена може бити изазвано неким другим узроцима (повећање трошкова производње, мере финансијске политике државе, повећање потражње итд.). Међутим, претходни исказ није ни тврдио да је на тржишту фактички дошло до смањења понуде. Он је само тврдио какве су последице ако до смањења дође, и то тврђење је логички исправно.

Из сличних разлога један импликативни исказ може бити истинит иако су и антецеденс и консеквенс лажни. На пример „Ако је повећана температура ове металне шипке, онда се њена запремина повећала“ биће истинит иако се ни температура ни запремина те шипке фактички није променила. Многи природни закони формулишу се оваквим исказима: њима се тврди да (под извесним условима) постојаље појаве А повлачи собом постојање појаве В. Међутим, ти услови не морају бити дати, ни појава А ни појава В не морају фактички постојати; веза међу њима остаје стална могућност (има карактер диспозиције). Примери оваквих исказа су: „Ако се у друштву развија тржишна привреда социјалне разлике расту“.

Према томе, таблица истинитости за импликацију изгледа:

p q p→q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

Као што се из таблице може уочити, довољно је (1) да аптецеденс буде лажан или (2) да консеквенс буде истинит, па да импликативна формула у целини буде истинита.

Еквивалентност

Два исказа ће бити еквивалентна ако имају исту истинитосну вредност, тј. ако су оба истинита или су оба лажна. Иначе, по садржају они могу бити потпуно различити. Уобичајено је да се еквивалентност изражава речима „ако и само ако” односно симболом „≡“ (за разлику од математичке идентичности „=“). Сложена формула p≡q биће истинита (1) ако су p и q истинити или (2) ако су p и q лажни. Према томе, имаћемо следећу истиносну таблицу за еквивалентност:

p q p≡q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1